首先，什么是线性变换？

简化了一万倍来说，线性变换主要是在描述符合这两种性质的变换：一是要可加，二是要能数乘。
也就是说，对于空间中所有向量 $\vec{v_1}, \vec{v_2}$ ，以及任意数量 $k_1, k_2$ ，如果有：

$$A(k_1 \vec{v_1} + k_2 \vec{v_2}) = k_1 A(\vec{v_1}) + k_2 A(\vec{v_2})$$

符合这种规律的 A 就叫线性变换。而一次矩阵乘法正好可以代表一次线性变换。

为什么叫“线性”变换呢？感性地来说，因为它很“线”。

我们可以直观地从下面这张图看出原因：

我们可以看到，在同一直线上的点，经过同一线性变换后还在同一直线上。所以它很“线”。

另一方面，我们可以找一找最简单的线性变换：

考虑函数：

$$f(x) = k_0 x$$

我们都知道这是一条过原点的直线。

而从另一方面想，其实这个函数对于任意一维向量（实数） $x_1, x_2$ , 与任意数量（实数） $k_1, k_2$ , 都有：

$$f(k_1 x_1 + k_2 x_2) = k_1 k_0 x_1 + k_2 k_0 x_2 = k_1 f(x_1) + k_2 f(x_2) \\$$

即， xy 平面上过原点的直线（正比例函数）本身就是一种从 x 轴到 y 轴的线性变换。

关于线性变换， 3blue1Brown 上有更详细更感性的介绍，大家感兴趣可以前往观看。

为什么普通的线性变换不能表示点平移？

从上面的感性介绍来看，我们知道线性变换的性质就是可加和数乘，写成等式就是：

$$A(k_1 \vec{v_1} + k_2 \vec{v_2}) = k_1 A(\vec{v_1}) + k_2 A(\vec{v_2})$$

而当两个向量都为零向量时，等式就会简化成：

$$A(\vec{0}) = A(\vec{0}) + A(\vec{0})$$

解一下方程，就可以知道，对任意线性变换 A，都会有：

$$A(\vec{0}) = 0$$

也就是说，不管是哪个线性变换 A ，原点经过变换后都必须只能是在原点不变。如果变换后原点的位置变了，那它就一定不是线性变换。

我们从下图也可以看出，对于切变 $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ 、伸缩 $\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$、旋转 $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$ 这些经典的线性变换，变换后原点都不会变。

但是平移这种变换不一样。原点经过平移后，是一定不会还留在原点的。因此平移不是一种线性变换，自然也不能用矩阵来表示。

为什么基于齐次坐标下的线性变换就可以表示平移？

我们先来看一下齐次坐标做了些什么。

在上面传统的线性变换中，我们不会考虑向量与点的区别。一个二维坐标 $(x, y)$ 既能代表那个坐标上的点，也能代表从原点到 $(x, y)$ 的向量。这时，点与向量是一一对应的。

但如果要考虑平移，点与向量就不能再一一对应了，因为对向量平移没有意义（不考虑物理中力矩的场景）。
所以在齐次坐标下，我们需要区分这个坐标代表的是点还是向量。

以二维空间为例，齐次坐标就是在二维空间上加了第三个维度 w 轴，二维空间里的点在 w 轴上的值为 1 ，而二维向量在 w 轴上的值对应为 0 ：

$$\begin{align} P &= \begin{pmatrix}x & y & 1\end{pmatrix} \\ \vec{v} &= \begin{pmatrix}v_x & v_y & 0\end{pmatrix} \end{align}$$

从字面上看可能还是不太明显，让我们试着把二维空间齐次坐标强行转化为三维空间坐标看看：

我们发现，原来二维空间中的点，被投射到三维空间中 w = 1 的平面上了！

这样一来，二维空间齐次坐标下的平移矩阵也很好理解了：

$$将平面沿向量 (x, y) 平移： \begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

这不就是三维空间中在 w 轴上做切变时的变换矩阵嘛！

我们可以重点关注一下 $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ 这个向量。
从齐次坐标的定义来看，这个向量对应着二维空间中的原点 $P_{Origin} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ 。而由矩阵乘法计算可知，经过 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 对应的线性变换后， $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ 这个向量会被映射到 $\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$ 上。也就是说，二维空间原点 $P_{Origin} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ 经过变换后会变为 $P_{Origin}' = A(P_{Origin}) = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ 。

而对于二维空间中的向量 $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$ ，其齐次坐标下 w 轴方向分量为 0 ，因此 w 轴方向上的切变并不会影响二维空间中的向量。即 $\vec{v'} = A(\vec{v}) = \vec{v}$ 。

而对于原来二维空间中的其他点的坐标：

$$P = \begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}$$

其实可以理解为原点坐标再加上一个偏移向量：

$$P = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix} = P_{Origin} + \vec{v}_{x,y}$$

而在齐次坐标下，点坐标 = 原点坐标 + 偏移向量 这一等式仍然成立：

$$P = \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\0\end{pmatrix} = P_{Origin} + \vec{v}_{x,y}$$

而由于切变是线性变换，因此有：

$$\begin{align} P' &= A(P) \\ &= A(P_{Origin} + \vec{v}_{x,y}) \\ &= A(P_{Origin}) + A(\vec{v}_{x,y}) \\ &= P_{Origin}' + \vec{v}_{x,y} \\ \end{align}$$

因为切变前后偏移向量没有发生变化，因此二维空间上的点经变换后相对于原点的方向、距离都没有发生变化。由此也可得出，原先由二维空间中的点组成的图案，经齐次坐标下 w 轴的切变后，其大小、形状、方向都不会发生变化。

而这种大小、形状、方向都不变化，只有整体位置发生了变化的变换，正是我们一般所说的“平移”。因此在齐次坐标下，我们能通过线性变换（aka 矩阵乘法）表示平移。

其实 $\begin{pmatrix}1 & 0 & x \\0 & 1 & y \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ 对应切变作用后各点坐标如何变化这个过程， 3Blue1Brown 的这个视频 有更直观明了的解释，大家可以参考。

总结一下

Q: 为什么普通的矩阵乘法不能表示平移？
A: 因为矩阵乘法只能表示线性变换。平移不是线性变换。

Q: 为什么在齐次坐标下的矩阵乘法又能表示平移？
A: 因为齐次坐标增加了一个维度。平移变换矩阵其实是在新增的这个维度上做切变（一种线性变换）。切变后的结果正好就是原坐标中的平移变换。

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